Pour le problème de batterie, çà sent en effet le faisceau coupé.
Pour ton problème de fuite il te faudrait inspecter ton circuit de refroidissement quand il est chaud. Car à froid il est pas encore en pression, et forcément quand tu roule tu regarde la route donc tu peux pas voir la fuite.
Aprés une petite balade (voir simplement en laissant chauffer la moto au ralenti) tu devrais mieux voir si çà futi au niveau du radiateur.
A ce sujet, attention que sur beaucoup de moto le vase d'expansion est trompeur, car dans certain cas il peut ètre plein et le radiateur ètre vide, donc faut aussi vérifier, après refroidissement du circuit, que le radiateur est bien rempli.
A+